فعالیت الف اثبات همنهشتی مثلثها حسابان یازدهم
در دایره مثلثاتی زیر زوایههای $\theta$ و $\frac{\pi}{۲} + \theta$ رسم شدهاند.
الف) با توجه به شکل، نشان دهید دو مثلث $\triangle OQ'Q$ و $\triangle OPP'$ همنهشت هستند.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت الف صفحه ۱۰۳ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت برای اثبات **روابط مثلثاتی زوایای $\mathbf{\frac{\pi}{۲} + \theta}$** (۹۰ درجه $+\theta$) از طریق **همنهشتی (همنهشتی)** دو مثلث قائمالزاویه استفاده میکند. 📐
### اثبات همنهشتی $\triangle OQ'Q$ و $\triangle OPP'$
برای اثبات همنهشتی دو مثلث قائمالزاویه، کافی است دو عنصر نظیر دیگر (مانند یک ضلع و یک زاویه، یا دو ضلع) با هم برابر باشند.
**۱. برابری وترها (ضلع $OQ$ و $OP$):**
* $OQ$ و $OP$ هر دو **شعاع دایره مثلثاتی** هستند.
* چون دایره مثلثاتی شعاع واحد دارد، $\mathbf{OQ = OP = ۱}$.
**۲. برابری زوایای حاده (زاویه $\theta$):**
* **در مثلث $\triangle OPP'$**: زاویه $P\hat{O}P'$ برابر $\mathbf{\theta}$ است.
* **در مثلث $\triangle OQ'Q$**: زاویه $Q\hat{O}Q'$ را محاسبه میکنیم. زاویه کل بین شعاع $OQ$ و محور $x$، برابر $\frac{\pi}{۲} + \theta$ است. زاویه بین $OQ$ و محور $y$ (شعاع $OQ'$) برابر است با: $\angle Q'OQ = (\frac{\pi}{۲} + \theta) - \frac{\pi}{۲} = \mathbf{\theta}$.
* **نتیجه**: $\mathbf{\angle P'OP = \angle Q'OQ = \theta}$.
**۳. حالت همنهشتی**:
* $\angle OP'P = \angle OQ'Q = ۹۰^{\circ}$ (زاویه قائم)
* $\angle P'OP = \angle Q'OQ = \theta$ (زاویه حاده)
* $OP = OQ$ (وترها)
$$\triangle OQ'Q \cong \triangle OPP' \quad (\text{به حالت } \mathbf{\text{وتر و یک زاویه حاده}})$$
**نتیجه**: چون دو مثلث همنهشت هستند، اضلاع نظیر آنها با هم برابرند. این به ما کمک میکند تا روابط مثلثاتی را در بخش بعدی استخراج کنیم.
فعالیت ب استخراج روابط $\sin (\frac{\pi}{۲} + \theta)$ و $\cos (\frac{\pi}{۲} + \theta)$ حسابان یازدهم
ب) از تساوی اضلاع نظیر دو مثلث فوق روابط زیر را مانند نمونه تکمیل کنید.
$$x_Q = -y_P \implies \cos (\frac{\pi}{۲} + \theta) = -\sin \theta$$
$$y_Q = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ب صفحه ۱۰۳ حسابان یازدهم
سلام! حالا که همنهشتی $\triangle OQ'Q \cong \triangle OPP'$ ثابت شد، از برابری اضلاع نظیر برای استخراج روابط سینوس و کسینوس زوایای $\mathbf{\frac{\pi}{۲} + \theta}$ استفاده میکنیم.
### ۱. شناسایی مختصات و اضلاع
* **نقطه $P$ (زاویه $\theta$)**: $P(\cos \theta, \sin \theta)$.
* طول ضلع $OP'$ (مجاور) $=\mathbf{x_P = \cos \theta}$
* طول ضلع $PP'$ (روبرو) $=\mathbf{y_P = \sin \theta}$
* **نقطه $Q$ (زاویه $\frac{\pi}{۲} + \theta$)**: $Q(x_Q, y_Q) = Q(\cos (\frac{\pi}{۲} + \theta), \sin (\frac{\pi}{۲} + \theta))$.
* طول ضلع $OQ'$ (مجاور به محور $x$)$=\mathbf{|x_Q|}$
* طول ضلع $QQ'$ (روبرو به محور $x$)$=\mathbf{y_Q}$
### ۲. استخراج روابط از تساوی اضلاع
* **تساوی ضلع $OQ'$ و $PP'$**: طول $OQ'$ (ضلع مجاور $Q'$ در مثلث $OQ'Q$) باید با طول $PP'$ (روبروی $\theta$ در $\triangle OPP'$) برابر باشد.
* $|x_Q| = y_P$. چون $x_Q$ در ربع دوم **منفی** است، پس $x_Q = -y_P$.
$$\mathbf{x_Q = -y_P \implies \cos (\frac{\pi}{۲} + \theta) = -\sin \theta} \quad \text{(داده شده)}$$
* **تساوی ضلع $QQ'$ و $OP'$**: طول $QQ'$ (ضلع روبرو به محور $x$ در $\triangle OQ'Q$) باید با طول $OP'$ (مجاور $\theta$ در $\triangle OPP'$) برابر باشد.
* $y_Q = x_P$.
$$\mathbf{y_Q = x_P \implies \sin (\frac{\pi}{۲} + \theta) = \cos \theta}$$
**نتیجهگیری (روابط تبدیل $\frac{\pi}{۲} + \theta$):**
$$\mathbf{\sin (\frac{\pi}{۲} + \theta) = \cos \theta}$$
$$\mathbf{\cos (\frac{\pi}{۲} + \theta) = -\sin \theta}$$
فعالیت پ روابط مثلثاتی زوایای $\frac{\pi}{۲} + \theta$ (تانژانت و کتانژانت) حسابان یازدهم
پ) طرف دوم تساویهای زیر را با استفاده از روابط قسمت ب کامل کنید.
$$\tan(\frac{\pi}{۲} + \theta) = \dots$$
$$\cot(\frac{\pi}{۲} + \theta) = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت پ صفحه ۱۰۳ حسابان یازدهم
حالا که روابط سینوس و کسینوس زوایای $\mathbf{\frac{\pi}{۲} + \theta}$ را داریم، میتوانیم روابط تانژانت و کتانژانت را از طریق تعریف آنها به دست آوریم. 💡
### ۱. محاسبه $\tan (\frac{\pi}{۲} + \theta)$
$$\tan (\frac{\pi}{۲} + \theta) = \frac{\sin(\frac{\pi}{۲} + \theta)}{\cos(\frac{\pi}{۲} + \theta)}$$
با جایگذاری روابط به دست آمده از قسمت ب:
$$\tan (\frac{\pi}{۲} + \theta) = \frac{\cos \theta}{-\sin \theta}$$
$$\tan (\frac{\pi}{۲} + \theta) = -\left(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right) = \mathbf{-\cot \theta}$$
### ۲. محاسبه $\cot (\frac{\pi}{۲} + \theta)$
$$\cot (\frac{\pi}{۲} + \theta) = \frac{\cos(\frac{\pi}{۲} + \theta)}{\sin(\frac{\pi}{۲} + \theta)}$$
با جایگذاری روابط به دست آمده از قسمت ب:
$$\cot (\frac{\pi}{۲} + \theta) = \frac{-\sin \theta}{\cos \theta}$$
$$\cot (\frac{\pi}{۲} + \theta) = -\left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right) = \mathbf{-\tan \theta}$$
**نتیجهگیری (روابط $\frac{\pi}{۲} + \theta$):**
$$\mathbf{\tan (\frac{\pi}{۲} + \theta) = -\cot \theta}$$
$$\mathbf{\cot (\frac{\pi}{۲} + \theta) = -\tan \theta}$$
